TRIÁNGULO

Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices.

En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos : interior (formado por dos lados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).

Consideraciones :

• En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.
• En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
• Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes.
• Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendidos.
• Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.
• En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.
• Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales.
• En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

C L A S I F I C A C I Ó N D E L O S T R I Á N G U L O S
Según sus lados Equiláteros (sus tres lados iguales) Isósceles (dos lados iguales y uno desigual) Escaleno (tres lados desiguales)
Según sus ángulos Rectángulos (un ángulo recto) Acutángulos (tres ángulos agudos) Obtusángulos (un ángulo obtuso)

Geometría
Definición 1 Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos , y .

Definición 2

Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección del semiplano de borde que contiene al punto C, el semiplano que contiene al punto A y el semiplano que contiene al punto B.

Según sus lados

w Equilátero: tres lados iguales

w Isósceles: dos lados iguales.

w Escaleno: tres lados desiguales.

Según sus ángulos

w Acutángulo: tres ángulos agudos

w Rectángulo: un ángulo recto

w Obtusángulo: un ángulo obtuso

Igualdad de triángulos

Dos triángulos son congruentes cuando tienen todos sus lados y ángulos respectivamente congruentes.

Sólo es necesario verificar que ciertos elementos sean congruentes para que dos triángulos sean iguales, por lo que se definen 4 criterios de igualdad de triángulos. A partir de los criterios de igualdad anteriores derivan los criterios de igualdad de triángulos rectángulos.

La igualdad de triángulos cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Propiedades de la igualdad de triángulos

w Carácter reflexivo: Todo triángulo es igual a si mismo.

w Carácter simétrico: Si un triángulo es igual a otro, éste es igual a primero.

w Carácter transitivo: Si un triángulo es igual a otro y éste es igual a un tercero, el primero es igual al tercero.

Criterios de igualdad de triángulos

w Primer criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales, son iguales.

w Segundo criterio: Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales, son iguales.

w Tercer criterio: Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente iguales, son iguales.

w Cuarto criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor respectivamente iguales, son iguales.

Criterios de igualdad de triángulos rectángulos

w Primer criterio: Dos triángulos rectángulos que tienen sus catetos respectivamente iguales, son iguales.

w Segundo criterio: Dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo y un cateto respectivamente iguales, son iguales.

w Tercer criterio: Dos triángulos que tienen un cateto y la hipotenusa respectivamente iguales, son iguales.

w Cuarto criterio: Dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo y la hipotenusa respectivamente iguales, son iguales.

Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo

Teorema:

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.

Disponiendo los ángulos del triángulo en forma consecutiva se obtiene un ángulo llano.

Corolarios:

w En todo triángulo, cada ángulo es igual a 180º menos la suma de los otros dos ángulos.

w Si en un triángulo un ángulo es rectángulo u obtuso, los dos ángulos restantes son agudos.

w Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.

Propiedad del ángulo exterior

Teorema:

Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.

Corolario:

w En todo triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los ángulos interiores.

Teorema de los ángulos interiores

Hipótesis

Tesis

Demostración

Se traza por C una recta paralela al lado , quedando determinados los ángulos y .

De lo anterior:

= por ser alternos internos entre r // AB y secante

= por ser alternos internos entre r // AB y secante

Por lo tanto:

que es lo que se quería demostrar.